Prólogo a los "Fundamentos de la Aritmética"

Jesús Mosterín

Si lo que hoy entendemos por lógica comienza en 1879 con la publicación de Begriffsschrift, de Frege, lo que hoy entendemos por filosofía de la matemática se inicia cinco años mas tarde, en 1884, con la publicación de la (en opinión de Michael Dummet) (1) obra maestra de Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética).
Toda la obra ?incluso toda la vida? de Frege está dedicada al esfuerzo por entender a fondo qué son los números naturales, y de dónde les viene a los teoremas aritméticos su peculiar e inigualable seguridad. En especial, Die Grundlagen der Arithmetik es la obra destinada a dilucidar la naturaleza de los números. Bertrand Russell ha escrito: «La cuestión de qué sea un número ha sido planteada con frecuencia, pero sólo ha encontrado una respuesta correcta hasta ahora: la dada por Frege en 1884, en su Die Grundlagen der Arithmetik» (2). Y Ernst Zermelo, el fundador de la teoría axiomática de conjuntos, no ha vacilado en afirmar que esta obra contiene lo mejor y lo más claro que nunca se haya escrito sobre el concepto de número (3).

Primera aproximación

Frege empieza diciendo lo que los números no son: los números no son cosas materiales, ni conjuntos, montones o configuraciones de cosas materiales; y no son propiedades de cosas materiales. Pero tampoco son algo subjetivo. Y no se confunden con los signos que se refieren a ellos.
¿Qué son, pues, los números? Siguiendo su propio principio de no preguntar por el significado de las palabras aisladamente, sino en el contexto de los enunciados en que aparecen, Frege constata que los enunciados numéricos dicen algo no acerca de objetos, sino acerca de conceptos. Y, en una primera aproximación (4), propone definir recursiva y contextualmente (en el contexto de un enunciado del tipo «el número n corresponde al concepto P») los números naturales del siguiente modo:

a) El número 0 corresponde al concepto P si ningún objeto cae bajo P.
b) El número n+ 1 corresponde al concepto P si hay un objeto a, tal que a cae bajo P y el número n corresponde al concepto «cae bajo P, pero es distinto de a».

Así sólo habríamos definido cada número natural n en enunciados del tipo «el número n corresponde al concepto P», pero no en las ecuaciones, que constituyen el tipo más frecuente de teorema matemático. Y tampoco habríamos definido el concepto de número, en general. La primera aproximación es, pues, insuficiente.
A continuación nos ofrece Frege su concepción de lo que son los números.
La dilucidación definitiva del concepto de número por Frege se realiza en dos etapas: en la primera se define el concepto de número cardinal, en general; en la segunda, se precisa el de número natural o finito.

Definición de número cardinal

Una relación de equivalencia entre elementos de una clase determinada es una relación reflexiva, simétrica y transitiva en esa clase.
Una relación de equivalencia R en una clase determinada A da lugar a una partición de esa clase en clases de equivalencia. Si b es un elemento de A, la clase de equivalencia de b es la clase de todos los elementos de A que están con b en la relación R.
Una manera frecuente de definir entidades matemáticas las clases de equivalencia inducidas por una determinada relación de equivalencia en una clase previamente dada de elementos.
Consideremos la clase de las rectas de un plano. Y supongamos dada la relación de paralelismo entre ellas. La relación de paralelismo es una relación de equivalencia. Por tanto, la relación de paralelismo da lugar a una partición de la clase de las rectas en clases de equivalencia, a las que llamamos direcciones. La dirección de una recta b no es sino la clase de equivalencia de b respecto a la relación de paralelismo, es decir, la clase de todas las rectas paralelas a b.

La idea central de Frege consiste en aplicar este mismo proceso para obtener una definición de número cardinal. Ello exige contar con un dominio previamente dado de elementos y definir en él una adecuada relación de equivalencia.
Como dominio previo de elementos elige Frege la clase de los conceptos. Como relación de equivalencia entre conceptos define Frege la relación de biyectabilidad: El concepto P es biyectable (o está en la relación de biyectabilidad) con el concepto Q si y sólo si hay una biyección (o aplicación biunívoca) entre los objetos que caen bajo P y los objetos que caen bajo Q. Con otras palabras, P es biyectable con Q si y sólo si hay una relación que relaciona cada objeto que cae bajo P con un (y sólo un) objeto que cae bajo Q, y a la inversa.
Está claro que la relación de biyectabilidad es una relación de equivalencia. Por tanto, la relación de biyectabilidad da lugar a una partición de la clase de los conceptos en clases de equivalencia, a las que llamamos números cardinales. El número cardinal de un concepto P no es sino la clase de equivalencia de P respecto a la relación de biyectabilidad, es decir, la clase de todos los conceptos biyectables con P. Es lo que Frege expresa en su peculiar terminología diciendo que el número que corresponde a un concepto P es la extensión del concepto «equinumérico al concepto P» (5).

Definición de número natural

Con esto queda definido el concepto de número (cardinal) en general, finito o infinito. Pero la aritmética trata de los números naturales, es decir, de los números finitos. Ahora bien, la elucidación del concepto de número natural requiere algunas definiciones previas.
El 0 se define como el número que corresponde al concepto «distinto de sí mismo» (6). En otras palabras, el 0 es la clase de todos los conceptos vacíos, es decir, de todos los conceptos bajo los que no cae objeto alguno.
El 1 se define como el número que corresponde al concepto «igual a 0». En otras palabras, el 1 es la clase de todos los conceptos unitarios, es decir, de todos los conceptos bajo los que cae un solo objeto.
Que n es el siguiente de m significa según Frege que hay un concepto P y un objeto a que cae bajo él, tales que n es el número de P y m es el número del concepto «cae bajo P y es distinto de a» (7).
Una vez definido el 0 y el siguiente, Frege está en posición de darnos su definición de número natural.
n es un número natural (o cardinal finito) significa que n pertenece a la serie numérica que empieza por 0, es decir, que n es 0 o que n cae bajo cada concepto bajo el que cae el 1 y bajo el que cae el siguiente de cada objeto que cae bajo él (8).

Fácilmente se ve que los números naturales así definidos satisfacen el quinto axioma de Peano, lo cual no es de extrañar, pues la definición que acabamos de dar equivale a decir que números naturales son precisamente los objetos que satisfacen el quinto axioma de Peano (o principio de la inducción aritmética).
Igualmente muestra Frege que los números naturales por él definidos satisfacen el resto de los axiomas de Peano. En especial, muestra que todo número natural tiene un siguiente indicando que para cada número natural n, el número natural que corresponde al concepto «pertenece a la serie numérica que termina con n» es el siguiente de n. Parece discutible que esto constituya una verdadera demostración. Pero Frege tampoco pretende ofrecer aquí pruebas rigurosas de los principios aritméticos.

Analítico y sintético

Kant había establecido la distinción entre enunciados analíticos y sintéticos. Basándose en el insuficiente análisis de la estructura de los enunciados ofrecido por la lógica aristotélico?tradicional, Kant supone que todos los enunciados (al menos todos los enunciados científicos) son del tipo sujeto?predicado, es decir, tienen la forma «todos los A son B», donde A y B son conceptos. Kant piensa también que todo concepto es una suma de características (o propiedades comunes a los objetos que caen bajo él). Pues bien, Kant define los enunciados analíticos como aquellos en que el predicado está contenido en el sujeto (es decir, en que todas las características del concepto B son también características del concepto A), y los sintéticos como aquellos en que el predicado no está contenido en el sujeto (es decir, en que algunas características de B no se encuentran entre las característícas de A) (9).
Sin embargo, está claro que esta definición kantiana sólo es aplicable a enunciados del tipo «todos los A son B». Pero la Kritik der reinen Vernunft de Kant está fundamentalmente dedicada a analizar el status epistemológico de los teoremas de la aritmética, la geometría euclídea y la mecánica newtoniana. De estos teoremas se pregunta Kant si son analíticos o sintéticos (y, en este último caso, si a prior¡ o a posterior¡). Ahora bien, esta pregunta carece de sentido si tomamos al pie de la letra la definición kantiana de analítico y sintético. En efecto, los típicos teoremas de estas teorías (enunciados como: «para cualesquiera n, m: (n+m)2 = n2+m2+2nm; «hay al menos tres puntos distintos que no están en la misma recta»; «dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia», etc.) tienen una estructura completamente distinta a los del tipo «todos los A son B», que son los únicos a los que se aplica la definición kantiana.

Igualmente se puede comprobar sin dificultad que la concepción leibniziano?kantiana según la cual los conceptos serían definibles como sumas de características es insostenible en la mayor parte de los casos. Otra razón más para rechazar la definición kantiana.
Aunque Frege formula estas críticas (10), considera sin embargo que la distinción entre analítico y sintético sigue siendo interesante. Pero estos términos han de ser definidos de nuevo.
Según Frege un enunciado verdadero es analítico si puede ser probado o deducido a partir únicamente de leyes lógicas y definiciones. En caso contrario decimos que se trata de un enunciado sintético (11).
Ya en el prólogo a Begriffsschrift Frege se había preguntado si los teoremas aritméticos son deducibles a partir de sólo leyes lógicas o si es preciso traer a colación hechos empíricos para su prueba. Y aquí, en Die Grundlagen der Arithmetik, vuelve Frege a plantearse el mismo problema: ¿son los enunciados verdaderos de la aritmética analíticos o sintéticos?

El programa logicista

La conclusión de Die Grundlagen der Arithmetik se inicia con la solemne formulación de la tesis logicista: Los teoremas aritméticos son enunciados analíticos. Cada concepto aritmético es definible en función de conceptos puramente lógicos. Cada teorema aritmético es deducible a partir de leyes puramente lógicas. Calcular es deducir. La aritmética se reduce a la lógica.

De todos modos Frege reconoce que en esta obra no ha probado la tesis logicista, sino que se ha limitado a motivarla, exponerla y hacerla verosímil. Su demostración definitiva ha de venir de la formalización de la lógica y de la deducción formal de los teoremas aritméticos con los solos medios del cálculo lógico. La primera tarea ?la formalización de la lógica? ya se había llevado a cabo por Frege cinco años antes, en Begriffsschrift. La segunda tarea ?la deducción formal de los teoremas aritméticos con los solos medios de cálculo lógico? quedaba pendiente. El programa logicista consistía precisamente en dernostrar definitivamente la tesis logicista ?la reducción de la aritmética a la lógica? mediante la realización de esa segurida tarea.
Frege dedicó los veinte años siguientes a la publicación de la obra aquí presentada, a llevar a cabo la tarea señalada por el programa logicista. Con la publicación en 1893 y 1903 de los dos tomos de Die Grundgesetze der Arithmetik, parecía que el programa logicista había llegado a feliz término. Los principales teoremas aritméticos quedaban formalmente deducidos dentro del cálculo lógico (una versión ligeramente modificada del presentado en Begriffsschrift). Pero resulta que mientras el segundo volumen de Die Grundgesetze der Arithmetik esta­ba en prensa, Frege recibió una carta en que Bertrand Russell le comunicaba que había descubierto una contradicción en su cálculo lógico (12). Con ello, el programa logicista se venía abajo.

La contradicción descubierta por Russell no era peculiar al sistema de Frege, sino común a todos los sistemas (incluida la teoría de conjuntos de Cantor) que emplearan de un modo ingenuo e intuitivo la idea de clase o de conjunto. Esta idea estaba representada en Die Grundgesetze der Arithmetik por la noción de recorrido (Wertverlauf) y en Die Grundgesetze der Arithmetik (la obra aquí presentada) por la noción de extensión de un concepto (Urnfang eines Begriffes). Y no deja de tener cierta ironía el hecho de que Frege, que con tanta sutileza, cuidado e incluso pedantería analiza y define cada noción técnica que emplea, se conforme con despachar la noción de extensión de un concepto en una nota a pie de página, en la que se limita a suponer que «ya se sabe lo que es la extensión de un concepto» (13).

En realidad, en 1884 se estaba muy lejos de saber lo que era la extensión de un concepto y no se sospechaba siquiera cuánta complejidad y peligro encerraba la (equivalente) idea de clase.
Desde 1902, en que Russell comunicó a Frege la contradicción que había descubierto en su sistema lógico, hasta su muerte, Frege luchó en vano por encontrar una solución que salvase la tesis logicista y evitara la contradicción descubierta por Russell. Finalmente, desesperó de poder encontrar solución al problema e incluso, poco antes de su muerte, renunció a la tesis logicista y empezó a explorar la posibilidad de encontrar en la geometría la fundamentacíón de la aritmética.

Un año antes de su muerte, Frege escribe en su diario: «Mis esfuerzos por aclarar lo que sean los números han conducido a un completo fracaso.» (14). Y en el último manuscrito conservado de Frege leemos: «Me he visto obligado a abandonar la opinión de que la aritmética sea una rama de la lógica y por tanto que todo en la aritmética puede ser probado lógicamente.» (15). No sólo acabó el viejo Frege renunciando a la tesis logicista, sino que también fue consciente de que el fracaso de su construcción se debía al uso de la noción de extensión de un concepto, equivalente a la de clase o conjunto. Incluso llegó a sostener que no hay objeto alguno que sea la extensión de un concepto. La expresión «la extensión del concepto P» ?escribe Frege en otro de sus últimos manuscritos «parece designar un objeto a causa del artículo determinado; pero no hay objeto alguno al que así pudiéramos designar correctamente. De aquí han surgido las paradojas de la teoría de conjuntos que han aniquilado esa teoría. Y tratando de fundamentar lógicamente los números, yo mismo he caído en esa trampa, al querer considerar los números como conjuntos ...» (16).

La filosofía posterior de la matemática ha girado en torno al problema de cómo salir de la trampa en que Frege y Cantor cayeron. Aunque se han propuesto diversas salidas y se han explorado nuevos caminos, aún estamos lejos de una solución definitiva. Y mucho de lo que hemos ganado en técnica, sofisticación y conocimiento, lo hemos perdido en contundencia, frescura creadora y entusiasmo. Por eso es tan reconfortante volver a leer a Frege.

Barcelona, julio de 1972

Notas:

(1) Michael DUMMET: GottIob Frege. En The Encyclopedia of Philosophy (ed. P. Edwards), vol. 3, p. 226. New York, 1967.
(2) Bertrand RUSSELL: Introduction to Mathematical Philosophy p. 11, London, 1919.
(3) Ernst Zermelo, en nota a la recensión de Die Grundlagen der Arithmetik por Cantor, publicada en Georg CANTOR: Gesammelte Abhandlugen (editadas por E. Zermelo), p. 441. Berlín, 1932.
(4) Gottlob FREGE: Die Grundlagen der Arithmetik. § 55. Breslau, 1884.
(5) Ibid., § 68, § 72? Frege no dispone explícitamente de la noción de clase de equivalencia. Su exposición sigue el siguiente orden: primero define la relación de equinumericidad (o biyectabilidad); en función de ella define después la noción de nÚmero del concepto ...; y, en función de ella, define finalmente número, en general: una cosa es un número si, y sólo si, hay algún concepto P, tal que esa cosa es el número de P. Esta definición no es circular, pues la noción de número del concepto... se define con independencia de la de número.
(6) Ibid., § 74.
(7) Ibid., § 76.
(8) Ibid., § 79, § 83.
(9) Immanuel KANT: Kritik der reinem Vernunft. Einleitung IV (pp. 6?7 de la 1ª edición, Riga, 1781; o pp. 10?11 de la 2.1 edición, Riga, 1787).
(10) Gottlob FREGE: Die Grundlagen der Arithmetik, § 88. Breslau. 1884.
(11) Ibid., § 3.
(12) Traducción inglesa de la carta de Bertrand Russell (escrita originariamente en alemán) en Van HEIJENOORT: From Frege to Gödel, PP. 124?125. Cambridge Mass., 1967.
(13) Gottlob FREGE: Die Grundlangen der Arithimetik. § 68, nota. Breslau, 1884.
(14) Gottlob FREGE: Nachgelassene Schriften (editados por H. Hermes, F. Karnbartel y F. Kaulbach), p. 282. Hamburg, 1969.
(15) Ibid., p.298.
(16) Ibid., pp. 288?289.

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Texto extraído de ""Fundamentos de la aritmética" (investigación lógico matemática sobre el concepto de número), G. Frege, edición en castellano, Editorial Laia, Barcelona, España, 1972.
Traducción: Ulises Moulines.
Selección y destacados: S.R.

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