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Intervenciones en el Seminario XII: "Problemas cruciales para el psicoanálisis"
PSICOLOGIA Y LOGICA (*)
Yves Duroix
Mi exposición se apoya en la lectura de los Grundlagen der Artihmetik, de Frege (Breslau – 1884) (1).
El objeto estricto de la investigación es lo que podemos llamar serie natural de los números enteros. Se pueden estudiar las propiedades o la naturaleza del número, pero las primeras ocultan a la última.
Entiendo por propiedad del número lo que hacen los matemáticos en un dominio delimitado por los axiomas de Peano. Las propiedades de los números se deducen a partir de tales axiomas. Pero para que éstos puedan funcionar y producir las propiedades de los números, es necesario excluir del campo una cierta cantidad de preguntas que los términos, en tanto autónomos, plantean acerca de la naturaleza del número. Estas preguntas son tres:
1º. ¿Qué es un número? (El axioma de Peano sobreentiende que ya se sabe lo que es un número.)
2º. ¿Qué es el cero?
3º. ¿Qué es el sucesor?
Justamente a partir de estas tres preguntas pueden encontrarse distintas respuestas acerca de la naturaleza del número entero.
Por mi parte, me ocuparé de la manera en que Frege, al criticar una tradición, articula su propia respuesta. Esta crítica y esta respuesta, en general, y tal como yo las expondré, constituirán los pilares los cuales J. A. Miller desarrollará su exposición.
Si no se considera al cero como una función diferente de las de los otros números (es decir, si no es como un punto a partir del cual es posible una sucesión), si no se otorga al cero una función predominante, entonces las otras dos preguntas pueden enunciarse así.
1º. ¿Cómo pasar de un conjunto de cosas a un número que es el número de esas cosas?
2º. ¿Cómo pasar de un número a otro?
Hay toda una tradición empirista que trata estas dos operaciones –una de agrupamiento, la otra de agregación- como remisibles a la actividad de un sujeto psicológico. Toda esta tradición juega con la palabra Einheit, que en alemán quiere decir unidad; a partir de un juego de palabras acerca de esta palabra es posible una serie de ambigüedades a propósito de las funciones de sucesores y de número.
Una Enheit es, en primer lugar, un elemento indiferenciado e indeterminado en un conjunto cualquiera. Pero una Enheit puede ser también el nombre Uno, nombre del número 1.
Cuando se dice un caballo y un caballo y un caballo, el un puede indicar una unidad, es decir, un elemento en un conjunto en donde están colocados, uno al lado del otro, “3” caballos. Pero es absolutamente imposible inferir, de tomar esas unidades como elementales y reunirlas en la colección, que haya un resultado al cual se pueda atribuir el número 3, si es que no se trata de un verdadero forzamiento que permite nombrar la colección.
Para poder decir un caballo y un caballo y un caballo –tres caballos-, hay que efectuar dos modificaciones. Es necesario:
1º. Concebir el uno como número.
2º. Que el y se transforme en signo +
Bien visto, una vez realizada esta segunda operación, no se habrá explicado nada, sino que, por el contrario, se habrá planteado el problema real que consiste en saber como 1 más 1 más 1 es igual a 3, pues ya no se confundirá el número 3 con el conjunto de tres unidades.
El problema consiste en que la reaparición del número introduce una significación radicalmente nueva, que no es la simple repetición de una unidad. ¿Cómo puede pensarse esa reaparición del número en tanto surgimiento de una significación nueva, sin resolver antes el problema de la diferencia entre los elementos iguales, puestos unos al lado de los otros, y su número?
Hay toda una tradición empirista que se conforma con relacionar el surgimiento de una nueva significación con una actividad específica (función de inercia) del sujeto psicológico, que consistiría en agregar (según una línea temporal de sucesión) y nombrar.
Frege cita una cantidad importante de textos que se limitan a promover las operaciones imaginarias de reunir, agregar y nombrar. Para dar un fundamento a esas funciones, que enmascaran el problema real, hay que suponer un sujeto psicológico que las opere y las enuncie. Si el problema real consiste en descubrir lo que hay de específico en el signo + y en la operación sucesor, es necesario arrancar el concepto de número del área de la determinación psicológica.
Es justamente allí donde comienza la empresa original de Frege. Esta reducción de lo psicológico se opera en dos momentos:
1º. Frege practica una separación en el dominio de lo que denomina Vorstellungen. Deja a un lado lo que él llama Vortellugen psicológicas, subjetivas, y pone al otro lado lo que llama Vorstellugen objetivas. Esta separación tiene la finalidad de borrar toda referencia a un sujeto y de tratar las representaciones objetivas a partir de leyes que merezcan llamarse lógicas. En estas representaciones objetivas hay que distinguir entre el concepto y el objeto. No hay que perder de vista que el concepto y el objeto no pueden separarse; la función que les asigna Frege no es distinta a la función del predicado con respecto al sujeto, pues no es otra cosa que una relación monádica (Russell) o que una relación de función con argumento.
2º. A partir de esta distinción Frege opera una segunda distinción, que lo lleva a relacionar el número, no ya con una representación subjetiva como lo quería la tradición empirista, sino con una representación objetiva, que es el concepto. La diversidad de las numeraciones posibles no puede apoyarse en una diversidad de objetos, sino que es simplemente el índice de una sustitución de conceptos sobre los cuales versa el número.
Frege da un ejemplo bastante paradojal. Toma la siguiente expresión: “Venus no tiene ninguna luna”. ¿A qué habrá que atribuir la determinación “ninguna”? Dice Frege que “ninguna” no se atribuye al objeto “luna”, y con razón, pues que no la tiene. Sin embargo, cero es una numeración; en consecuencia, le es atribuido al concepto “luna de Venus”. El concepto “luna de Venus” es relacionado con un objeto que es el objeto “luna”, y esa relación es tal que no hay luna.
A partir de esa doble reducción obtiene Frege su primera definición de número (las diferentes definiciones del número sólo tienen por objeto fundar la operación sucesor). Primera definición de número: el número pertenece a un concepto.
Pero esta definición es incapaz de darnos lo que Frege llama su número individual, es decir, un número que tenga un artículo definido –el uno, el dos, el tres, que son únicos como número individual, pues no hay varios uno, hay un uno, un dos).
No disponemos de nada por ahora que nos permita determinar si lo que se atribuye a un concepto es este número que es el número único precedido del artículo definido.
Para hacer comprender la necesidad de otro paso para poder llegar a ese número individual, Frege toma siempre el ejemplo de los planetas y de su luna, que esta vez es el siguiente: “Júpiter tiene cuatro lunas”.
“Júpiter tiene cuatro lunas” puede convertirse en este otro enunciado: “El número de las lunas de Júpiter es cuatro”. El es que une el número de lunas de Júpiter y cuatro, no es de ninguna manera análogo al es del enunciado “El cielo está azul”, pues no se trata de una cópula, sino de una función de igualdad. El número cuatro es el número que hay que poner como igual (idéntico) al número de lunas de Júpiter. Al concepto “lunas de Júpiter” se le atribuye el número cuatro.
Este rodeo obliga a Frege a plantear una operación primordial que le permite reducir los números a una pura relación lógica. Esta operación –de la que no daré detalles- es una operación de “equivalencia” (2) . Se trata de una operación lógica que permite ordenar biunívocamente objetos o conceptos (no debe inquietar este “o conceptos”, pues para Frege, toda relación de igualdad entre conceptos ordena igualmente los objetos que caen bajos esos conceptos según la misma relación de igualdad, por lo menos en esta etapa de su pensamiento).
Una vez que ha puesto esta relación “de equivalencia”, se puede obtener una segunda definición del número, la verdadera: “el número que pertenece al concepto f es la extensión del concepto equivalente al concepto F”.
Es decir, se ha puesto un concepto determinado F; se han determinado, por la relación de equivalencia, todas las equivalencias de ese concepto F, se define el número como la extensión de este concepto equivalente al concepto F (todas las equivalencias del concepto F).
Así, Frege pensará, según el modelo de una máquina, que podría lograrse una ordenación según dos ejes: un eje horizontal en el que juegue la relación de equivalencia, y un eje vertical que sea el eje específico de la relación entre el concepto y el objeto (siempre se puede, a partir del momento en que se tiene un concepto, transformarlo en objeto de un nuevo concepto, pues la relación entre el concepto y el objeto es pura lógica de relación). Justamente a partir de su máquina relacional pretende Frege discernir los diferentes números, los números individuales, que, de algún modo, ha dejado para el final de su investigación, como coronación de su sistema de equivalencia. Discernir los diferentes números lleva a definir el cero y el sucesor.
Para darse el número cero, Frege forja el concepto de “no idéntico a sí mismo”, que él define como concepto contradictorio, y declara que, cualquiera sea el concepto contradictorio (y aquí deja paso a los conceptos contradictorios heredados de la lógica tradicional, como el círculo cuadrado o el metal de madera), cualquiera sea el concepto bajo el cual no caiga ningún objeto, recibe la atribución del nombre “cero”. El cero se define, pues, por la contradicción lógica, garantía de la no existencia del objeto. Hay aquí una remisión de la no existencia comprobada del objeto, o de la decretada (puesto que se dice que no hay centauro o unicornio), a la contradicción lógica de centauro o de unicornio.
La segunda operación que permite engendrar toda la serie de números es la operación sucesor. Frege da simultáneamente la definición de uno y la definición de la operación sucesor.
De la operación sucesor me limitaré a dar la definición de Frege, que el autor postula antes del uno, pues mostraré cómo esta operación sucesor no puede aparecer mientras se de la relación de uno a cero.
La operación sucesor se define simplemente como sigue:
Se dice que un número sigue inmediatamente en la serie a otro número si ese número es atribuido a un concepto bajo el cual cae un objeto (x) y si hay otro número (el número al que sigue el primer número) tal que sea atribuido al concepto “que cae bajo el concepto precedente, pero no es idéntico a (x)”.
Esta definición es puramente formal. Frege la funda dando inmediatamente después la definición de uno. La misma consiste en darse un concepto “igual a cero”. ¿Qué objeto cae bajo este concepto? El objeto cero. Entonces Frege dice: “1 sigue a 0 en la medida en que 1 es atribuido al concepto “igual a 0”.
En consecuencia: la operación sucesor se origina en un doble juego de contradicción en el pasaje del cero al uno. Puede decirse, sin exceder demasiado el campo de Frege, que la reducción de la operación sucesor se realiza mediante una operación de doble contradicción. Puesto que cero se da como contradictorio, el pasaje de cero a uno se da por la contradicción contradictoria. El motor que anima la sucesión es, en Frege, la lisa y llana negación de la negación. El montaje que permitió definir el número funciona muy bien. Pero cabe la duda acerca de su capacidad para responder a la siguiente pregunta: “¿Cómo hay 1 después del 0?” No me cuestionaré aquí la legitimidad de la operación. Dejaré a J. A. Miller esa tarea.
Sólo quisiera formular dos observaciones:
1. Tanto en los empiristas como en Frege, jamás se obtuvo el nombre del número (que Frege llama nombre individual) sin apelar, en última instancia, a un forzamiento, como si se tratara de un sello que lo sellado se aplicara a sí mismo.
2. Tanto en Frege como en los empiristas, el número resulta siempre aprehendido mediante una operación que tiene por función producir el pleno, sea valiéndose de un conjunto, sea a través de esta operación que Frege llama correspondencia biunívoca, y que tiene precisamente la función de reunir exhaustivamente en un conjunto todo un campo de objetos. La actividad de un sujeto, por un lado, y la de la operación lógica de equivalencia, por el otro, tiene la misma función. Habrá que sacar las consecuencias de ello.
NOTAS:
(*) Reseña –no revisada por el autor- de una exposición pronunciada el 27 de enero de 1965 en el seminario del Dr. Lacan
(1) Nota S.R.: Se trata de "Fundamentos de la aritmética" (investigación lógico matemática sobre el concepto de número), edición en castellano, Editorial Laia, Barcelona, España, 1972. Traducción: Ulises Moulines.
(2) O aun de “identidad”.
Texto extraído de "Significante y sutura en psicoanálisis", varios autores, ed. Siglo XXI.
Selección y destacados: S.R.
Con-versiones, Junio 2008
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